Quelques propriétés des sous-groupes de Gal(k((t))/k)

详细信息    查看全文

• 作者：Bruno Deschamps^a ; ^b ; ^{Bruno.Deschamps@univ-lemans.fr" class="auth_mail" title="E-mail the corresponding author} ; Ivan Suarez Atias^a ; ^b ; ^{Ivan.Suarez_Atias@univ-lemans.fr" class="auth_mail" title="E-mail the corresponding author}
• 关键词：General Galois theory ; Field arithmetic ; Group theory
• 刊名：Journal of Number Theory
• 出版年：2016
• 出版时间：August 2016
• 年：2016
• 卷：165
• 期：Complete
• 页码：131-168
• 全文大小：632 K

文摘

L'objet de cet article est l'étude de certaines propriétés structurelles des sous-groupes du groupe class="mathmlsrc">class="formulatext stixSupport mathImg" data-mathURL="/science?_ob=MathURL&_method=retrieve&_eid=1-s2.0-S0022314X16000548&_mathId=si1.gif&_user=111111111&_pii=S0022314X16000548&_rdoc=1&_issn=0022314X&md5=64bf471d3ce72b246eb3b59bf3cea21f" title="Click to view the MathML source">Gal(k((t))/k)class="mathContainer hidden">class="mathCode">$\mathrm{Gal}(k((t))/k)$, des k-automorphismes pour un corps commutatif k   donné du corps class="mathmlsrc">class="formulatext stixSupport mathImg" data-mathURL="/science?_ob=MathURL&_method=retrieve&_eid=1-s2.0-S0022314X16000548&_mathId=si2.gif&_user=111111111&_pii=S0022314X16000548&_rdoc=1&_issn=0022314X&md5=c768d46b05e6914672f345c410c9c14f" title="Click to view the MathML source">k((t))class="mathContainer hidden">class="mathCode">$k((t))$ des séries de Laurent à coefficients dans k  . Après avoir montré que le centre de class="mathmlsrc">class="formulatext stixSupport mathImg" data-mathURL="/science?_ob=MathURL&_method=retrieve&_eid=1-s2.0-S0022314X16000548&_mathId=si1.gif&_user=111111111&_pii=S0022314X16000548&_rdoc=1&_issn=0022314X&md5=64bf471d3ce72b246eb3b59bf3cea21f" title="Click to view the MathML source">Gal(k((t))/k)class="mathContainer hidden">class="mathCode">$\mathrm{Gal}(k((t))/k)$ est trivial en toute caractéristique, nous montrons qu'en caractéristique nulle le centre d'un sous-groupe non abélien de class="mathmlsrc">class="formulatext stixSupport mathImg" data-mathURL="/science?_ob=MathURL&_method=retrieve&_eid=1-s2.0-S0022314X16000548&_mathId=si1.gif&_user=111111111&_pii=S0022314X16000548&_rdoc=1&_issn=0022314X&md5=64bf471d3ce72b246eb3b59bf3cea21f" title="Click to view the MathML source">Gal(k((t))/k)class="mathContainer hidden">class="mathCode">$\mathrm{Gal}(k((t))/k)$ est nécessairement cyclique, propriété que nous notons class="mathmlsrc">class="formulatext stixSupport mathImg" data-mathURL="/science?_ob=MathURL&_method=retrieve&_eid=1-s2.0-S0022314X16000548&_mathId=si4.gif&_user=111111111&_pii=S0022314X16000548&_rdoc=1&_issn=0022314X&md5=dda27ef2c2b565ce0a25feb402e28062" title="Click to view the MathML source">(Z_c)class="mathContainer hidden">class="mathCode">$(Z_c)$ en toute généralité pour un groupe. Ce résultat est obtenu grâce à une étude fine du centralisateur de chaque élément de class="mathmlsrc">class="formulatext stixSupport mathImg" data-mathURL="/science?_ob=MathURL&_method=retrieve&_eid=1-s2.0-S0022314X16000548&_mathId=si1.gif&_user=111111111&_pii=S0022314X16000548&_rdoc=1&_issn=0022314X&md5=64bf471d3ce72b246eb3b59bf3cea21f" title="Click to view the MathML source">Gal(k((t))/k)class="mathContainer hidden">class="mathCode">$\mathrm{Gal}(k((t))/k)$. Cette étude repose principalement sur l'introduction de l'élévation à la puissance a   (où class="mathmlsrc">class="formulatext stixSupport mathImg" data-mathURL="/science?_ob=MathURL&_method=retrieve&_eid=1-s2.0-S0022314X16000548&_mathId=si5.gif&_user=111111111&_pii=S0022314X16000548&_rdoc=1&_issn=0022314X&md5=6c7004c356a20e7a4f15ceadae24c881" title="Click to view the MathML source">a∈kclass="mathContainer hidden">class="mathCode">$a\in k$) définie sur le sous-groupe des automorphismes principaux (i.e. l'ensemble des class="mathmlsrc">class="formulatext stixSupport mathImg" data-mathURL="/science?_ob=MathURL&_method=retrieve&_eid=1-s2.0-S0022314X16000548&_mathId=si1083.gif&_user=111111111&_pii=S0022314X16000548&_rdoc=1&_issn=0022314X&md5=39abf4a129b8d255bbd828fd0b94856b" title="Click to view the MathML source">σ∈Gal(k((t))/k)class="mathContainer hidden">class="mathCode">$\sigma \in \mathrm{Gal}(k((t))/k)$ tels que class="mathmlsrc">class="formulatext stixSupport mathImg" data-mathURL="/science?_ob=MathURL&_method=retrieve&_eid=1-s2.0-S0022314X16000548&_mathId=si7.gif&_user=111111111&_pii=S0022314X16000548&_rdoc=1&_issn=0022314X&md5=7df177af009a46ff37a39700cdf257e3" title="Click to view the MathML source">v(σ(t)−t)≥2class="mathContainer hidden">class="mathCode">$v(\sigma (t)-t)\ge 2$). En marge de cette étude nous montrons en particulier que ce sous-groupe est de type CA.

Nous étudions ensuite la propriété class="mathmlsrc">class="formulatext stixSupport mathImg" data-mathURL="/science?_ob=MathURL&_method=retrieve&_eid=1-s2.0-S0022314X16000548&_mathId=si4.gif&_user=111111111&_pii=S0022314X16000548&_rdoc=1&_issn=0022314X&md5=dda27ef2c2b565ce0a25feb402e28062" title="Click to view the MathML source">(Z_c)class="mathContainer hidden">class="mathCode">$(Z_c)$. Nous montrons que la somme amalgamée de deux groupes possédant la propriété class="mathmlsrc">class="formulatext stixSupport mathImg" data-mathURL="/science?_ob=MathURL&_method=retrieve&_eid=1-s2.0-S0022314X16000548&_mathId=si4.gif&_user=111111111&_pii=S0022314X16000548&_rdoc=1&_issn=0022314X&md5=dda27ef2c2b565ce0a25feb402e28062" title="Click to view the MathML source">(Z_c)class="mathContainer hidden">class="mathCode">$(Z_c)$ sur un groupe cyclique possède la propriété class="mathmlsrc">class="formulatext stixSupport mathImg" data-mathURL="/science?_ob=MathURL&_method=retrieve&_eid=1-s2.0-S0022314X16000548&_mathId=si4.gif&_user=111111111&_pii=S0022314X16000548&_rdoc=1&_issn=0022314X&md5=dda27ef2c2b565ce0a25feb402e28062" title="Click to view the MathML source">(Z_c)class="mathContainer hidden">class="mathCode">$(Z_c)$. Ce résultat nous amène à regarder la possibilité d'amalgames de torsion dans class="mathmlsrc">class="formulatext stixSupport mathImg" data-mathURL="/science?_ob=MathURL&_method=retrieve&_eid=1-s2.0-S0022314X16000548&_mathId=si1.gif&_user=111111111&_pii=S0022314X16000548&_rdoc=1&_issn=0022314X&md5=64bf471d3ce72b246eb3b59bf3cea21f" title="Click to view the MathML source">Gal(k((t))/k)class="mathContainer hidden">class="mathCode">$\mathrm{Gal}(k((t))/k)$ : étant donnés deux éléments de torsion de class="mathmlsrc">class="formulatext stixSupport mathImg" data-mathURL="/science?_ob=MathURL&_method=retrieve&_eid=1-s2.0-S0022314X16000548&_mathId=si1.gif&_user=111111111&_pii=S0022314X16000548&_rdoc=1&_issn=0022314X&md5=64bf471d3ce72b246eb3b59bf3cea21f" title="Click to view the MathML source">Gal(k((t))/k)class="mathContainer hidden">class="mathCode">$\mathrm{Gal}(k((t))/k)$, le sous-groupe engendré par ces élément est-il un amalgame ? Nous donnons une interprétation graphique de ce problème en connexion avec la théorie de Serre–Bass et nous décrivons deux situations, l'une où la réponse à la question est oui et l'autre non.