摘要
弧齿锥齿轮广泛应用于航空和汽车工业的机械传动系统中，其工作性能对整个传动系
统有着至关重要的影响。弧齿锥齿轮的工作性能与其接触特性有关，包括齿面啮合迹、瞬
时传动比和接触区形态，其中齿面啮合迹是最为基础的方面，它是决定弧齿锥齿轮瞬时传
动比和载荷谱，并进而深入研究其寿命和热传导的基础。
根据所求齿面啮合这是否与时间有关，可以将齿面啮合迹分为齿面静态啮合迹和齿面
动态啮合迹。目前齿面啮合迹的研究大都属于静态范围。齿面动态啮合迹的研究几乎无人
涉及。
本文以弧齿锥齿轮齿面动态啮合迹的求解作为切入点，研究弧齿锥齿轮传动系统的多
种参数对弧齿锥齿轮接触特性的影响。为此，首先从弧齿锥齿轮齿面几何分析出发建立齿
面，然后形成了计入轮齿弹性的啮合分析数值方法（Numerical method of Elastic Tooth Contact
Analysis，简称NETCA），最后以弧齿锥齿轮传动系统为研究对象，重点考虑轮齿啮合力变
化及传动系统其它参数的变动对弧齿锥齿轮齿面动态啮合迹的影响，主要成果及创新点如
下：
1.形成了弧齿锥齿轮弹性啮合分析的数值方法
（1）任意状态下两坐标系之间的坐标变换矩阵
根据弧齿锥齿轮在安装位置时齿面啮合基点重合、基点处的单位法矢必须共线的要求，
推导出了两坐标系之间的坐标变换矩阵。这一推导过程的本质，就是根据同一刚体上某点
处的单位法矢在两个不同坐标系下的位置关系，找到两坐标系之间的坐标变换矩阵。其意
义在于可以将这一坐标变换矩阵推广至任意状态下两坐标系之间的坐标变换，并直接用于
弧齿锥齿轮传动系统动态分析时所进行的弹性轮齿啮合分析之中。
（2）齿面啮合点求解的局部坐标法
齿面啮合点即为齿面啮合切点，该点处的齿面间距等于零。齿面啮合点的求解可以采
用局部坐标法。其基本原理是取对耦齿面中的某一齿面——第一齿面作为基准，在其上建
立齿面坐标系，将另一齿面——第二齿面的坐标点也转换到此坐标系中，并计算两齿面沿
某一坐标轴方向对应点间的最小间距。令第一齿面固定不动而调整第二齿面所在的齿轮绕
其轴线的转角，以使齿面最小间距趋近于零，则可求得齿面啮合点。
（3）加速搜寻啮合点的逐点搜索法和减小搜索范围的打伞法
采用局部坐标法求解啮合点时，齿面最小间距的搜索可以有多种策略。而逐点搜索法
速度较快。这一方法从齿面上某点开始计算齿面间距，通过比较与其相邻各点的齿面间距，
取其中齿面间距较小的点作为下一次搜索的起点，逐步向着齿面间距最小的方向逐点搜索。
为了防止齿面求解的结果为局部最小，可以将齿面适当分块，首先在每一子块中求局部最
小间距，然后取所有子块中的最小值为全局最小。
在每一子块中采用逐点搜索法求解齿面间距的局部最小值时，可以采用打伞法以减小
搜索范围。其原理是以前一点为中心——“伞把”，形成一较小的、大小可变的搜索区间—
—“伞顶”，以加快对耦齿面对应点的求解。
（4）调整齿面间隙和求解载荷分配的两点递推法
齿面间隙与齿轮转角之间，或者多对轮齿同时承担外扭矩时，各对轮齿所承载的扭矩
与齿轮的转角之间，都存在着明显的函数关系。但是，当给定轮齿间隙或外扭矩值反求齿
轮转角时，因无法明确表达其间的函数关系而难于求解。两点递推法是解决这类问题的有
效方法。其本质是改进的弦截法。其基本原理是根据己有的两点，自动采取外推或内推的
摘要
方法，得到下一点的自变量值，并根据函数收敛的具体情况，减少外椎或内椎时自变量变
动的程度，使因变量逐步趋于收敛。在判明自变量与因变量间呈单调关系时，都可以预先
给定函数值，采用两点递推法求反函数，并且不用区分单调递增与单调递减的不同。
（5）载荷作用下接触点求解的拟赫兹法
两弹性体在外载荷作用下的接触问题通常采用赫兹法。赫兹法假设初始接触点即为最
大变形量发生处，或最大压力处。但是齿面弹性变形会导致齿轮的转动以及啮合点位置的
变动。定义以赫兹法为基础，计入齿面弹性变形对啮合点位置的影响以求解齿面啮合点的
数值计算方法为拟赫兹法。此时啮合点的求解要通过迭代才能求得。
（6）轮齿弹性变形时齿面啮合点的求解
齿面啮合点求解时，计入轮齿弯曲弹性变形和接触弹性变形的综合影响，以尽可能真
实地反映齿面实际接触的情况。轮齿弯曲弹性变形的计算采用I；’lw－ tttlgn ouse公式，轮齿接
触弹性变形采用拟赫兹法。
2．将弧齿锥齿轮弹性轮齿啮合分析的数值方法与传动系统的动态分析相结合，模拟弧
齿锥齿轮的齿面动态啮合迹：
（l）只考虑啮合点法向力作用时齿面动态啮合迹的求解
以弧齿锥齿轮及其转子系统为研究对象，将轮齿啮合力视为外载荷，建立有限元动力
学模型。实际求解时，计及弯扭耦合和轮齿啮合力与齿轮运动状态的耦合，交替进行动力
学方程的求解和弹性轮齿的啮合分析，以求得弧齿椎齿轮的
Spiral bevel gears are widely used in the mechanical transmission systems of aviation and
motor industry. Their working performances have a vital influence on the whole transmission
systems. The working performances of spiral bevel gears are closely related with their tooth
contact characterics, including the meshing track, instant transmission ratio and tooth contact
pattern. Of the above contact characterics, the meshing track is the most basic one. It decides the
instant ratio of the meshing gears and the load spectrum on the gear tooth. It is also the basis of
deep research for gear life and heat conduction.
Meshing track can be classified into static meshing track and dynamic meshing track,
depending on whether the meshing track is related with time or not. So far most researches on the
meshing track belong to the static range. Dynamic meshing track is barely touched.
This paper takes the dynamic meshing track as the cut-in point and investigates the various
kinds of parameters of the spiral bevel gear transmission system to the tooth contact characteristics.
To realize these ends, first the tooth surface is formed on the basis of tooth geometry analysis.
Second a numerical tooth contact analysis is set up considering the elasticity of the contacting
teeth. Third the spiral bevel gear transmission system is taken as the research object and the
dynamic meshing track is studied with the changing meshing forces mainly and other parameters
of the transmission system considered. The important achievements and creations are in following.
1. Numerical method of Elastic Tooth Contact Analysis (NETCA) of spiral bevel gears is
achieved.
(a) Conversion coordinate matrix between two random coordinate systems.
Conversion coordinate matrix between two coordinate systems is deducted to the
requirements of the superposition of the tooth surface base point and the unit vector of the base
point when the mating spiral bevel gears are mounted initially. The essence of the deduction is to
find the conversion matrix according to the relationship of the same unit vector of a rigid body in
the different two coordinate systems. The conversion matrix can be extended to the relationship
between two random coordinate systems and then used directly in the Elastic Tooth Contact
Analysis in the dynamic analysis of the spiral bevel gear transmission system.
(b) Local Coordinate Method for finding the meshing points.
Meshing point is just the tangential point of tooth surface, where the tooth gap is zero. Local
Coordinate Method can find meshing point. The mechanism of the method is to take one of the
mating surfaces as the reference surface or the first surface and build a surface coordinate system
on it. Points of the other tooth surface or the second surface should be converted into the above
surface coordinate system and the minimum gap between the mating surfaces along some
coordiate axis is calculated. By regulating the rotational angle of the second surface gear and
assuming the first surface gear stationary, the minimum gap tends to be zero, and the meshing
point can be got.
(c) Point-Point Search Method for quickly-finding the meshing points and Umbrella Method
III
for reducing search range.
There are several ways of finding the minimum gap between the mating tooth surfaces when
Local Coordinate Method tries to find the meshing points. Point-Point Search Method proves to be
more quickly. From calculating the gap of some point on one of the mating surfaces, Point-Point
引文
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